KALKULUS INTEGRAL : INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…

    Ok pada blog sebelumnya kita sudah membahas tentang Integral Parsial. Nah pada blog kali ini kita akan bahas Integral Fungsi Rasional Linear. Integral Pada fungsi rasional linear? Maksudnya gimana ya? Yok kita pelajari bersama.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang berbentuk  `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom. Fungsi rasional terbagi jadi 2 yaitu:

1. Fungsi Rasional Sejati, yaitu fungsi rasional yang pangkat penyebutnya lebih besar dari pangkat pembilangnya. contoh : `f(x)\=\frac{1-x}{x^2-3x+2}`

2. Fungsi Rasional Tidak Sejati, yaitu fungsi rasional yang pangkat pembilangnya lebih besar atau sama dengan pangkat penyebutnya. contoh:

`F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

`F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

      `=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional `\frac{f(x)}{g(x)}`  sampai tidak dapat di faktorkan lagi 
3. Dalam langkah nomor 2 diatas, g(x) dapat berupa kombinasi antara: fungsi linear berbeda, fungsi linear berulang, fungsi linear dan kuadrat, fungsi kuadrat berbeda, serta fungsi kuadrat berulang, dan lain lain
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya

untuk lebih mudah memahami materi ini,yok kita masuk ke contoh soal

tentukan  

`\int\frac{4+x}{\left(1+2x\right)\left(3-x\right)}`

jawab :

Karena soal tersebut telah berbentuk fungsi rasional sejati maka, misalkan  

`\frac{4+x}{\left(1+2x\right)\left(3-x\right)}=\frac A{1+2X}+\frac B{3-X}`

maka,

`\frac{4+x}{\left(1+2x\right)\left(3-x\right)}=\frac{A(3-x)+B(1+2x)}{\left(1+2x\right)\left(3-x\right)}`

4+x = A(3-x)+B(1+2x)

4+x = 3A-Ax+B+2Bx

4+x = x(-A+2B)+(3A+B)

selanjutnya kita akan mencari nilai A dan B

-A+2B = 1

 3A+B = 4

kita gunakan teknik eliminasi, dan di dapatlah

A = 1 dan B = 1

selanjutnya kita subtitusikan nilai A dan B ke persamaan awal tadi

`\int\frac{4+x}{\left(1+2x\right)\left(3-x\right)}`

`=\int\frac A{1+2X}+\int\frac B{3-X}`

`=\int\frac1{1+2X}dx+\int\frac1{3-X}dx`

= 1/2 `\ln\left(\|1+2x|\right)-\ln\left(3-x)+C`