KALKULUS INTEGRAL : INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…

    Ok pada blog sebelumnya kita sudah membahas tentang Integral Fungsi Rasional Linear. Nah pada blog kali ini kita akan bahas Integral Fungsi Rasional Kuadrat. Integral Pada fungsi rasional Kuadrat? Maksudnya gimana ya? Yok kita pelajari bersama.

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas dua bagian yaitu :

• integral fungsi rasional faktor kuadrat
• integral fungsi rasional yang memuat sin x dan cos x

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL FAKTOR KUADRAT

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat di faktorkan dalam bentuk kombinasi linear

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac A{ax+b}+\frac{Bx+C}{px²+qx+r}`

> CONTOH 1

 `\int\frac{6x²-3x+1}{(4x+1)(x²+1)}dx`

Jawab :

Karena fungsinya merupakan integral rasional sejati, maka kita dapat tuliskan 

`\int\frac{6x²-3x+1}{(4x+1)(x²+1)}dx`

`=\int\frac A{4x+1}+\frac{Bx+C}{x²+1}dx`

`=\int\frac{A(x²+1)+(Bx+C)(4x+1)}{(4x+1)(x²+1)}dx`

`=\int\frac{(A+4B)x²+(B+4C)x+(A+C)}{(4x+1)(x²+1)}dx`

Di peroleh :

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

 `\int\frac{6x²-3x+1}{(4x+1)(x²+1)}dx`

`=\int\frac2{4x+1}+\frac{x-1}{x²+1}dx`

`=\int\frac2{4x+1}dx+\int\frac x{x²-1}dx-\int\frac1{x²-1}dx`

`=\frac{2}{4}\ln\|4x+1|+\frac{1}{2}\ln|x^2+1|-arc\tan x+C`

>  CONTOH 2

`\int\frac{x³+x²+x+2}{x⁴+x²+2}dx`

Jawab :

Karena fungsinya merupakan integral rasional sejati, maka kita dapat tuliskan 

`\int\frac{x³+x²+x+2}{x⁴+x²+2}dx`

`=\int\frac{x³+x²+x+2}{(x²+1)(x²+2)}dx`

`=\int\frac{Ax+B}{(x²+1)}+\frac{Cx+D}{(x²+2)}dx`

`=\int\frac{(Ax+B)(x²+2)+(Cx+D)(x²+1)}{(x²+1)(x²+2)}dx`

`=\int\frac{(A+C)x³+(B+D)x²+(2A+C)x+(2B+D)}{(x²+1)(x²+2)}dx`

Diperoleh :

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

`\int\frac{x³+x²+x+2}{x⁴+x²+2}dx`

`=\int\frac1{(x²+1)}+\frac x{(x²+2)}dx`

`=\int\frac1{(x²+1)}dx+\int\frac x{(x²+2)}dx`

`=arc\tan x+\frac{1}{2}\ln\|x²+2|+C`

> CONTOH 3

`\int\frac{x³-4x}{x²+1}dx`

Jawab:memuat fungsi trigonometri dapat

juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau

tidak sejati. Hal ini dikarenakan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 tidak mempunyai derajat

Karena fungsinya merupakan integral rasional tak sejati, maka dari hasil pembagian di peroleh :

`\int\frac{x³-4x}{x²+1}dx`

`=\int\left(x-\frac{5x}{x²+1}\right)dx`

`=\int xdx-\int\frac{5x}{x²+1}dx`

`=\frac{1}{2}x²-5\int\frac x{x²+1}dx`

`=\frac{1}{2}x²-5\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x²+1}dx`

`=\frac{1}{2}x²-\frac{5}{2}\ln\|x²+1|+C`

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL YANG MEMUAT SIN X DAN COS X

Fungsi `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\ne0` ,f(x) dan g(x) memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi. 

> CONTOH

`\int\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}`

Jawab :

`=\int\frac{{\frac2{1+z²}}dz}{1+{\frac{2z}{1+z²}}+{\frac{1-z²}{1+z²}}}`

`=\int\frac{\frac{2dz}{1+z²}}{{\frac{1+z²}{1+z²}}+{\frac{2z}{1+z²}}+{\frac{1-z²}{1+z²}}}`

`=\int\frac{2dz}{2+2z}`

`=\int\frac{dz}{1+z}`

`=\ln\|1+z|+C`

`=\ln\|1+\tan\frac x2|+C`

Posted in: matematika,Materi,rumus