KALKULUS INTEGRAL : INTEGRAL SUBTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

 

Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…

    Ok pada blog sebelumnya kita sudah membahas tentang Integral Fungsi Trigonometri. Nah pada blog kali ini kita masih membahas seputar pengintegralan dalam fungsi trigonometri yaitu Integral Subtitusi Fungsi Trigonometri. Subtitusi di Integral fungsi trigonometri? Maksudnya gimana ya? Yok kita pelajari bersama

    Nah gimana klo kita dapatkan soal integral trigonometri yang berbentuk akar maupun pecahan? metode subtitusi sangat memudahkan kita dalam mengerjakan soal seperti itu. Jadi pada dasarnya subtitusi ini di gunakan agar lebih mempermudah kita mengerjakan soal integral yang berbentuk akar maupun pecahan serta bisa di guakan juga pada situasi yang lain.

    Sehubungan dengan hal itu Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

1. `\sqrt{a^2-x^2},\a>0,\a\in\mathbb{R}`

2. `\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2},\a>0,\a\in\mathbb{R}`

3. `\sqrt{x^2-a^2},\a>0,\a\in\mathbb{R}`

kita akan menggunakan segitiga siku siku untuk mencari integran bentuk diatas diatas 

1.

`\sqrt{a^2-x^2}` gunakan subtitusi

`x=a\sin\t` atau `\sin\t\=\frac xa`

`x=a\sin\t\Leftrightarrow dx=a\cos\t \dt`

dengan `-\frac{\pi}2\leq t\leq\frac{\pi}2` sehingga,

`\sqrt{a^2-x^2}`

`=\sqrt{a^2-\left(a\sin t\right)^2}`

`=\sqrt{a^2\left(1-\sin^2t\right)}`

`=a\cos\t`                         

2. 

`\sqrt{a^2+x^2}` gunakan subtitusi

`x=a\tan\t` atau `\tan t=\frac xa`

`x=a\tan t\Leftrightarrow dx=a\sec^2t\dt`

dengan `-\frac{\pi}2\leq t\leq\frac{\pi}2` sehingga,

`\sqrt{a^2+x^2}`

`=\sqrt{a^2+\left(a\tan t\right)^2}`

`=\sqrt{a^2\left(1+\tan^2t\right)}`

`=asect`

3.

`\sqrt{x^2-a^2}` gunakan subtitusi

`x=a\sec\t` atau `\sec t=\frac xa`

`x=a\sec\t\Leftrightarrow dx=asect\tan tdt`

dengan `0\leq t<\frac{\pi}2\(x\geq a\right)\ dan \frac{\pi}2\leq t\leq\pi\(x\leq-a\right)` sehingga,

`\sqrt{x^2-a^2}`

`=\sqrt{\left(asect\right)^2-a^2}`

`=\sqrt{a^2sec^2t-a^2}`

`=a\tan t`

*NOTE

    Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

    selanjutnya ada beberapa turunan identitas trigonometri yang biasa digunakan dalam mengerjakan soal Integral Subtitusi Fungsi Trigonometri yaitu

untuk lebih mempermudah kita memahami materi ini, yok kita beralih ke contoh soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini!

`\int\sqrt{4-x^2}dx`

jawab :

subtitusi  `x=2\sin t\Leftrightarrow\sin t=\frac x2`

maka, `dx=2\cos tdt`

sehingga `\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-4\sin^2t}=2\cos t`

diperoleh :

`\int\sqrt{4-x^2}dx`

`=\int2\cos t\left(2\cos tdt\right)`

`=4\int\cos t\cos tdt`

`=4\int\cos^2tdt`

`=4\int\frac{\left(1+\cos2t\right)}2dt`

`=2\int dt+2\int\cos2tdt`

`=2t+\sin2t+C`

`=2t+2\sin t\cos t`

`=2arc\sin\left(\frac x2\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}2+C`

Ada juga nih soal latihan buat teman-teman kerjakan

`\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}`

 

Nah Itulah tadi penjelasan singkat mengenai Integral Subtitusi Fungsi Trigonometri. semoga dapat dipahami dengan baik✌. "Transisilah kesusahan menjadi kemudahan, karena kemudahan sudah pasti tidak susah". Tetap berlatih agar lebih cepat memahami materi ini, Tanggapan dan saran dapat di tuliskan dikolom komentar. terima kasih, assalamualaikum warahmatullahi wabarokatuh

Posted in: matematika,Materi,rumus