KALKULUS INTEGRAL : INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…

    Pada blog sebelumnya kita sudah membahas tentang Integral Tak Tentu Dan Teori Subtitusi. Nah pada blog kali ini kita akan membahas tentang pengintegralan dalam fungsi trigonometri. integral dalam fungsi trigonometri? Seperti apakah itu? Yok kita pelajari J

    Terlebih dahulu kita harus tahu apasih itu Integral Fungsi Trigonometri. Jadi, Integral Fungsi Trigonometri adalah kebalikan dari turunan trigonometri. Di mana, integral tersebut juga memuat fungsi trigonometri. Nah terus gimana jadi nya klo Integral Tak Tentu Pada Fungsi Trigonometri? Integral tak tentu pada fungsi trigonometri merupakan bentuk integral yang integrannya berbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. 

    Mungkin kita sulit memahami materi ini kalau cuman bahas pengertiannya saja. Iya sulit, sesulit memahami dia hahaha

    Nah agar mudah memahaminya, mari kita masuk ke pembahasan rumus dan contoh soal dari Integral Fungsi Trigonometri. Tapi sebelum itu, ada beberapa integral dasar yang akan digunakan untuk mempermudah kita dalam menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasarnya yaitu:

    Selanjutnya ada beberapa kasus yang biasanya didapatkan dalam mengerjakan Integral Fungsi Trigonometri 

A. ∫𝒔𝒊𝒏^m𝒙 𝒅𝒙 dan ∫𝒄𝒐𝒔^m𝒙 𝒅𝒙 dengan m bilangan ganjil atau genap positif 

    Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (𝑚−1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas 𝑠𝑖𝑛²𝑥+𝑐𝑜𝑠²𝑥=1 .

Contoh :

1. ∫𝑠𝑖𝑛³ 𝑥 𝑑𝑥 

Jawab : 

∫𝑠𝑖𝑛³ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑖𝑛^(3−1)+1 𝑥 𝑑𝑥

                                 = ∫𝑠𝑖𝑛²𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥

                                = ∫(1−𝑐𝑜𝑠² 𝑥) 𝑑(−cos𝑥)

                                = ∫1 𝑑(−cos𝑥)+ ∫𝑐𝑜𝑠² 𝑑(cos𝑥)

                   

B. ∫𝒔𝒊𝒏^m 𝒙 𝒄𝒐𝒔ⁿ 𝒙 𝒅𝒙 

    Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas 𝑠𝑖𝑛²𝑥+𝑐𝑜𝑠²𝑥=1 .

Contoh : 

1. ∫𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠³ 𝑥 𝑑𝑥 

Jawab :

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap sehingga 

∫𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑐𝑜𝑠³ 𝑥 𝑑𝑥 =∫𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠²𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥

                              = ∫𝑠𝑖𝑛² 𝑥(1−𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑥)

                              = ∫𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑑(sin𝑥)−∫𝑠𝑖𝑛⁴ 𝑥 𝑑(sin𝑥)

                              

 

C. ∫𝒕𝒂𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 dan ∫𝒄𝒐𝒕𝒏𝒙 𝒅𝒙 

          - Untuk kasus ∫𝑡𝑎𝑛ⁿ 𝑥 𝑑𝑥, faktorkan tan𝑥 kemudian gunakan identitas 𝑡𝑎𝑛²𝑥=𝑠𝑒𝑐²𝑥−1

          - Untuk kasus ∫𝑐𝑜𝑡𝑛𝑥 𝑑𝑥, faktorkan cot𝑥 kemudian gunakan identitas 𝑐𝑜𝑡²𝑥=𝑐𝑠𝑐²𝑥−1

Perhatikan contoh berikut:

∫𝑡𝑎𝑛³ 𝑥 𝑑𝑥

Jawab :

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1+𝑡𝑎𝑛² 𝑥=𝑠𝑒𝑐² 𝑥. Sehingga diperoleh 

∫𝑡𝑎𝑛³ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑡𝑎𝑛² 𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥

                   = ∫(𝑠𝑒𝑐² 𝑥−1) 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

                   = ∫𝑠𝑒𝑐² tan𝑥 𝑑𝑥−∫tan𝑥 𝑑𝑥

                   = ∫tan𝑥 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 𝑑𝑥−𝑙𝑛|sec𝑥|+𝐶

                   = ∫tan𝑥 (tan𝑥)−𝑙𝑛|sec𝑥|+𝐶 

 

D. ∫𝒕𝒂𝒏^m 𝒙 𝒔𝒆𝒄ⁿ 𝒙 𝒅𝒙 dan ∫𝒄𝒐𝒕^m 𝒙 𝒄𝒔𝒄ⁿ 𝒙 𝒅𝒙 

    Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1+𝑡𝑎𝑛² 𝑥=𝑠𝑒𝑐² 𝑥 atau 1+𝑐𝑜𝑡² 𝑥=𝑐𝑠𝑐² 𝑥. Begitu juga dengan ganjil.

Contoh :

1.      ∫𝑡𝑎𝑛⁵ 𝑥 𝑠𝑒𝑐⁴ 𝑥 𝑑𝑥

Jawab : 

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+𝑡𝑎𝑛²𝑥=𝑠𝑒𝑐²𝑥, sehingga diperoleh

∫𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 𝑠𝑒𝑐⁴𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 (𝑠𝑒𝑐²𝑥)² 𝑑𝑥

                             = ∫𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 (1+𝑡𝑎𝑛²𝑥) 𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝑑𝑥

                             = ∫(𝑡𝑎𝑛⁵𝑥+ 𝑡𝑎𝑛⁷𝑥) 𝑑(tan𝑥) 

                                

E. ∫𝐬𝐢𝐧m𝒙𝐜𝐨𝐬n𝒙 𝒅𝒙, ∫𝐬𝐢𝐧m𝒙𝐬𝐢𝐧n𝒙 𝒅𝒙, ∫𝐜𝐨𝐬m𝒙𝐜𝐨𝐬n𝒙 𝒅𝒙

    Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu: 

Contoh:

 

Nah Itulah tadi penjelasan singkat mengenai Integral Fungsi Trigonometri. semoga dapat dipahami dengan baik✌. "Transisilah kesusahan menjadi kemudahan, karena kemudahan sudah pasti tidak susah". Tetap berlatih agar lebih cepat memahami materi ini, Tanggapan dan saran dapat di tuliskan dikolom komentar. terima kasih, assalamualaikum warahmatullahi wabarokatuh

 

Posted in: matematika,Materi,rumus