Mei 21, 2023
Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…
Pada blog sebelumnya kita telah membahas tentang Volume Benda Putar bagian 1. Nah Blog kali ini kita akan membahas lanjutan dari materi sebelumnya yaitu tentang Volume Benda Putar bagian 2. Tanpa lama lama lagi, yok kita bahas bersama.
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.
1. Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=a, dan x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang `[a,b]`.
Misal pusat cakram `(x_0,0)` dan jari-jari `r=f(x_0)`. Maka luas cakram di nyatakan :
`A(x_0) =π(f(x_0))^2=πf^2(x_0)`
Oleh karena itu, volume benda putar :
`V=\int_a^b\π(f(x))^{2}dx=π\int_a^b\(f(x))^{2}dx`
Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-`y`? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=f(y),x=0,y=c, dan y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar :
`V=\int_a^b\π(f(y))^{2}dx=π\int_a^b\(f(y))^{2}dy`
Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)≥0`, y=g(x)≥0, f(x)≥g(x)` untuk setiap `x\in[a, b], x=a dan x=b diputar terhadap sumbu-`x`, maka volume :
`V=\int_a^b\π((f(x))^{2}-(g(x))^{2})dx`
Bila daerah yang dibatasi oleh `x=f(y)≥0`, x=g(y)≥0, f(y)≥g(y)` untuk setiap `y\in[c, d], y=c dan y=d diputar terhadap sumbu-`y`, maka volume :
`V=\int_a^b\π((f(y))^{2}-(g(y))^{2})dy`
Contoh :
Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva:
`y=2-x^2, y=-x` dan sumbu-`y` bila diputar mengelilingi garis `y=-2`
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di `(-1,1)` dan `(-2,2)`. Pada selang `[-1,2]` berlaku `2-x^{2}≥-x`
jarak kurva `y=2-x^2, y=-x`terhadap sumbu putar (garis `y=-2`) dapat di pandang sebagai jari-jari dari cakram, sehingga diperoleh `(2-x^{2})-(-2)=4-x^{2}` dan `-x-(-2)=2-x` Maka berturut-turut adalah `(4-x^{2})` dan `(2-x)`.
`∆V≈π[(4-x^{2})^{2}-(2-x)^{2}]∆x=π(x^{4}-9x^{2}+4x+12)∆x, -1≤x≤2`
Di peroleh :
`V=\int_{-1}^2\π(x^{4}-9x^{2}+4x+12)dx`
`V=π\int_{-1}^2\(x^{4}-9x^{2}+4x+12)dx`
`V=π[\frac{x^5}{5}-3x^{3}+2x^{2}+12x]_{-1}^2`
`V=\frac{108}{5}π≈67,86` satuan volume
2. Metode Cincin
Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut
dan merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut
`V=π(R^{2}-r^{2})t`
Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar `R(x)` dan jari-jari dalam `r(x)`, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini
`V=π\int_a^b\[(R(x))^{2}-(r(x))^{2}]dx`
Contoh:
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari `y=x^2`, sumbu-`x` dan garis `x=2` diputar terhadap garis `y=-1`
Jawab :
Jika irisan diputar terhadap garis `y=-1` akan diperoleh suatu cincin dengan jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar `1+x^2`
`∆V≈π[(1+x^{2})^{2}-1^{2}]∆x=π(x^{4}+2x^{2})∆x, 0≤x≤2`
Sehingga di peroleh :
`V=\int_0^{2}\π(x^{4}+2x^{2}) dx`
`V=π\int_0^{2}\(x^{4}+2x^{2}) dx`
`V=π[\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}]_0^2`
`V=\frac{176}{15}π≈36,86`satuan volume
3 . Metode Kulit Silinder
Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2`, tinggi tabung `h`. Maka volume kulit tabung adalah :
`∆V=(πr_2+πr_1)h=2πr∆r`
Dengan :
`\frac{r^{2}+r^1}{2}=r` (rata-rata/jari-jari) ; `r_{2}+r_{1}=∆r`
Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=a, dan x=b` diputar mengelilingi sumbu-`y` maka kita dapat memandang bahwa jari-jari `r=x` dan `∆r=∆x` dan tinggi tabung `h=f(x)`, Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
`V=\int_a^b\2πx f(x)dx`
Misal daerah dibatasi oleh kurva`y=f(x), y=g(x), f(x)≥g(x)` untuk setiap `x\in[a, b], x=a dan x=b diputar mengelilingi sumbu-`y` Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
`V=\int_a^b\2πx(f(x)-g(x))dx`
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan `x=f(y),x=0,y=c, dan y=d`diputar mengelilingi sumbu-`x`. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
`V=\int_a^b\2πy f(y)dy`
Sedangkan untuk daerah yang dibatasi oleh `x=f(y), x=g(y), f(y)≥g(y)` untuk setiap `y\in[c, d], y=c dan y=d diputar mengelilingi sumbu-`x` Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
`V=\int_c^d\2πx(f(y)-g(y))dy`
Contoh :
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah `R` yang dibatasi oleh `y=\sqrtx, x=4, y=0`, mengelilingi sumbu `x=4`
Jawab :
Jika irisan diputar terhadap garis `x=4` akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari `4-x` dan `\sqrtx`, maka :
`∆V≈2π(4-x)\sqrt{x}dx`
`0≤x≤4`
Sehingga Diperoleh :
`V=\int_0^4\2π((4-x)\sqrtx)dx`
`V=2π\int_0^4\((4\sqrtx\-x^{\frac{3}{2}})dx`
`V=2π[\frac{8}{3}\x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\x^{\frac{5}{2}}]_0^4`
`V=\frac{17}{15}\π≈3,56` satuan volume
Nah Itulah tadi penjelasan singkat mengenai Volume Benda Putar. semoga dapat dipahami dengan baik✌. "Transisilah kesusahan menjadi kemudahan, karena kemudahan sudah pasti tidak susah". Tetap berlatih agar lebih cepat memahami materi ini, Tanggapan dan saran dapat di tuliskan dikolom komentar. terima kasih, assalamualaikum warahmatullahi wabarokatuh
0 komentar:
Posting Komentar