April 24, 2023
Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…
Pada Blog kali ini kita akan membahas lagi tentang perintegralan yaitu Integral Tentu. Bisa di bilang part 2-nya dari materi kemarin ya teman-teman. Tanpa lama lama lagi, yok kita bahas bersama.
TEOREMA DASAR KALKULUS
Andaikan f fungsi kontinyu pada selang `\left[a,b\right]` dan andaikan F Fungsi sembarang anti turunan dari f, maka :
`\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`
Contoh :
1. `\int_{-1}^2x^2dx`
`=\frac{1}{3}x^3\|_{-1}^{2}`
`=\frac{1}{3}(2^3-(-1)^3)`
`=3`
2. `\int_0^\pi\sin dx`
`=-\cos x\|_0^\pi`
`=-\left(\cos\pi-\cos0\right)`
`=-\left(-1-1\right)`
`=2`
Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendiferensialan Integral Tentu yaitu :
Jika f kontinu pada selang `\left[a,b\right]` dan x adalah sebuah variabel titik dalam `\left[a,b\right]` maka
`\frac d{dx}\left(\int_a^xf(t)dt\right)=f(x)`
Contoh :
`\frac d{dx}\left(\int_0^{x^2}(3t+1)dt\right)`
`=\frac d{dx}\left(\frac{3}{2}t^2+t\right)\|_0^{x^2}`
`=\frac d{dx}\left(\frac{3}{2}x^4+x^2\right)`
`=6x^3+2x`
RUMUS - RUMUS INTEGRAL TENTU
- `\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx`
- `\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx`
- `\int_a^b(f(x)-g(x))dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x)dx`
- `\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx,a>b`
- `\int_a^cf(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^cg(x)dx,ab\in\left[a,c\right]`
Selanjutnya ada beberapa teorema yang harus kita ketahui yaitu :
TEOREMA SIMETRIK
Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika `f(-x)=f(x)` , dan ganjil jika `f(-x)=-f(x)`. Untuk setiap fungsi tersebut maka berlaku :
- `\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx`, jika fungsi genap
- `\int_{-a}^af(x)dx=0`, jika fungsi ganjil
Contoh :
`\int_{-5}^5\frac{x^5}{(x^2+4)}dx`
Jawab :
`f(x)=\frac{x^5}{(x^2+4)}`
`f(-x)=\frac{-x^5}{(-x^2+4)}=\frac{-x^5}{(x^2+4)}=-f(x)`
Karena `f(-x)=-f(x)` maka `f(x)=\frac{x^5}{(x^2+4)}` adalah fungsi ganjil, sehingga
`\int_{-5}^5\frac{x^5}{(x^2+4)}dx=0`
TEOREMA PERIODIK
Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga f(x+p)=f(x), untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut
`\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx`
Contoh :
`\int_0^{2\pi}\|sin x|dx`
Jawab :
Karena f(x)=|sinx| Fungsi periodik dengan periode π, maka
`\int_0^{2\pi}\|sin x|dx`
`=\int_0^{\pi}\|\sin x\| dx+\int_\pi^{2\pi}\|\sin x\| dx`
`=\int_0^{\pi}\|\sin x\| dx+\int_{0+\pi}^{\pi+\pi}\|\sin x\| dx`
`=\int_0^{\pi}\|\sin x\| dx+\int_0^{\pi}\|\sin x\| dx`
`=2\int_0^{\pi}\|\sin x\| dx`
`=2\int_0^{\pi}\sin x\dx`
`=2(-\cosx)\|_{0}^{π}`
`=2(-\cos\pi-(-\cos0))`
`=2(-(-1)-(-1))`
`=4`
TEOREMA NILAI RATA-RATA UNTUK INTEGRAL
Jika f fungsi kontinu pada selang `\left[a,b\right]` Maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga :
`\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)`
Nah Itulah tadi penjelasan singkat mengenai Integral tentu. semoga dapat dipahami dengan baik✌. "Transisilah kesusahan menjadi kemudahan, karena kemudahan sudah pasti tidak susah". Tetap berlatih agar lebih cepat memahami materi ini, Tanggapan dan saran dapat di tuliskan dikolom komentar. terima kasih, assalamualaikum warahmatullahi wabarokatuh
Sc : Referensi Materi
0 komentar:
Posting Komentar