Aplikasi Integral : Luas Daerah Bidang Datar

 Assalamualaikum teman-teman, apa kabar hari ini? Semoga baik baik saja ya…

     Pada blog sebelumnya kita telah membahas tentang Integral Tentu. Nah Blog kali ini kita akan membahas lagi tentang Aplikasi Integral Pada Luas Daerah Bidang Datar. Tanpa lama lama lagi, yok kita bahas bersama. 

     Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan `y=f(x)` atau `x=g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. 

     Luasan terbagi menjadi 2 yaitu Luasan Positif dan Luasan Negatif

LUASAN POSITIF

Luasan Positif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak diatas sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di sebelah kanan sumbu-y. Berikut ini gambar Luasan Positif yang di maksud

LUASAN NEGATIF

Luasan Negatif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak dibawah sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di sebelah kiri sumbu-y. Berikut ini gambar Luasan Positif yang di maksud

Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan diatas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan `y_2=g(x)`. Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.

MENENTUKAN LUASAN SUATU DAERAH

Perhatikan gambar luasan berikut ini

R sebagaimana terlihat pada Gambar adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva y=f(x), x=a, x=b. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan

`A(R)=\int_a^bf(x)dx`

Jika luasan terletak di bawah sumbu-x , maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

`A(R)=\int_a^b-f(x)dx=\|\int_a^bf(x)dx\|`

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

1. Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat. 
2. Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu-x atau sumbu-y , selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk. 
3. Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang.
4. Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
5. Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.

Untuk lebih mudah memahaminya, langsung aja kita masuk ke contoh soal

Contoh 1

Susunlah integral untuk daerah dibawah kurva  `y=1+\sqrt x` diantara `x=0` dan `x=4`

Jawab :

1. Sketsa

2. Irisan

3. Aproksimasikan luas irisan : 

`\triangle A_i=\left(1+\sqrt{x_i}\right)\triangle x_i`

4. Jumlahkan : 

`A\left(R\right)\approx\sum_{i=1}^n\(1+\sqrt{x_i}\)\triangle x_i`

5. Limit : 

`A\left(R\right)=\int_0^4\left(1+\sqrt{x_i}\right)dx`

*Begitu kita memahami prosedur lima langkah ini, kita dapat menyingkatnya menjadi tiga langkah: iris, aproksimasikan, integrasikan. Pikirkan kata integrasikan sebagai gabungan dua langkah: (1) jumlah luas irisan dan (2) ambil limit ketika lebar irisan menuju nol. Dalam proses ini  `\sum...\Delta x` berubah menjadi `\int\....dx` ketika kita mengambil limit. Gambar berikut memberikan bentuk yang ringkas untuk masalah yang sama

1.  

2. Aproksimasikan : `\Delta A\approx\left(1+\sqrt x\right)\Delta x`

3. Integrasikan : `A\left(R\right)=\int_0^4\left(1+\sqrt x\right)dx`

Contoh 2

Segitiga ABC terletak pada `XOY`, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu `A(0,0), B(3,0)`, dan `C(3,7)` . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC. 

Jawab :

Gambar segitiga ABC adalah

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

`\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_c-y_A}{x_c-x_A}`

Diperoleh persamaan `\frac{y-0}{x-0}=\frac{7-0}{3-0}`

`3y=7x` atau `y=\frac{7}{3}x`

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan `A\left(R\right)=\int_a^bF\(x\)dx`

`=\int_0^3\frac{7}{3}xdx`

`=\frac{7}{6}x^2\|_0^3`

`=\frac{7}{6}\cdot 9`

`=10,5`satuan luas

Nah Itulah tadi penjelasan singkat mengenai Integral tentu. semoga dapat dipahami dengan baik✌. "Transisilah kesusahan menjadi kemudahan, karena kemudahan sudah pasti tidak susah". Tetap berlatih agar lebih cepat memahami materi ini, Tanggapan dan saran dapat di tuliskan dikolom komentar. terima kasih, assalamualaikum warahmatullahi wabarokatuh

Sc : Referensi Materi